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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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3. Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
e) $f(x)=\ln x$ orden 4 $x_{0}=1$

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $4$ centrado en $x=1$ de la función $f(x)=\ln (x)$

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura: $ p(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x - 1)^4 $
Vamos entonces a derivar $f$ y evaluar sus derivadas en $x=1$ para completar nuestra respuesta:

$ f(x) = \ln(x) $
$ f(1) = 0$

$ f'(x) = \frac{1}{x} $ $ f'(1) = 1 $ $ f''(x) = -\frac{1}{x^2} $ $ f''(1) = -1 $ $ f'''(x) = \frac{2}{x^3} $ $ f'''(1) = 2 $

$ f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} $
$ f^{(4)}(1) = -6 $

¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:

$ p(x) = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 - \frac{6}{24}(x - 1)^4 $

Ahí nos quedó algo que podemos simplificar:

$ p(x) = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 - \frac{1}{4}(x - 1)^4 $

Y este es el polinomio que buscábamos :)
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Avatar Lola 3 de junio 15:23
Ha buenas tardes tengo una duda medio boluda pero estoy pérdida en como seguir derivando 1/x
Avatar Flor Profesor 3 de junio 19:45
@Lola Hola Lola! Nono tranqui jaja... Fijate que en la primera clase de Derivadas, la que está en Derivadas -> Introducción a derivadas -> Concepto de derivada. Tabla y propiedades -> Ahí en el Minuto 18 muestro una manera de pensar esa derivada (que es usando reglas de potencias primero y después derivando con las reglas para polinomios, eso lo podés ver en esa partecita del video)

Después también la podés pensar con regla del cociente, tomando "al primero" como el 1 y el "segundo" como $x$ -> Entonces nos quedaría así:

$\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$ 

(acordate que la derivada "del primero", que en este caso es 1, es cero!)

Por cualquiera de los dos caminos llegás al mismo resultado y esta misma idea la podés usar para otros similares, como también muestro en ese video 

* Por las dudas, consejo! Porque veo que te sumaste hoy al curso: El finde yo les mandé un mensajito por acá, con un par de tips de clases si o si necesarias para repasar antes de meterse con el segundo parcial -> Las únicas si o si necesarias son las primeras de derivadas, esa primera que te marqué y las de reglas de derivación (producto, cociente y de la cadena) -> Entonces, si estás media trabada con derivadas, consejo, mirate primero esas clases y con eso ahi sí con todo a seguir con la práctica 8! 
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