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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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3. Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
e) f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x orden 4 x0=1x_{0}=1

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 44 centrado en x=1x=1 de la función f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln (x)

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura: p(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+f′′(1)2!(x−1)2+f′′′(1)3!(x−1)3 +f(4)(1)4!(x−1)4  p(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x - 1)^4 
Vamos entonces a derivar ff y evaluar sus derivadas en x=1x=1 para completar nuestra respuesta:

f(x)=ln⁡(x) f(x) = \ln(x)
f(1)=0 f(1) = 0

f′(x)=1x f'(x) = \frac{1}{x} f′(1)=1 f'(1) = 1 f′′(x)=−1x2 f''(x) = -\frac{1}{x^2} f′′(1)=−1 f''(1) = -1 f′′′(x)=2x3 f'''(x) = \frac{2}{x^3} f′′′(1)=2 f'''(1) = 2

f(4)(x)=−6x4 f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}
f(4)(1)=−6 f^{(4)}(1) = -6

¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:

p(x)=(x−1)−12(x−1)2+13(x−1)3 −624(x−1)4  p(x) = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 - \frac{6}{24}(x - 1)^4 

Ahí nos quedó algo que podemos simplificar:

p(x)=(x−1)−12(x−1)2+13(x−1)3−14(x−1)4 p(x) = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 - \frac{1}{4}(x - 1)^4

Y este es el polinomio que buscábamos :)
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